Lección 1: Fundamentos: Leyes de Exponentes y Porcentajes

Esta lección tiene como objetivo reforzar las herramientas aritméticas y algebraicas básicas que son esenciales para la Estimación y el Sentido Numérico. En el EXANI-II, la estimación rápida puede ser tan importante como la precisión.

II. Leyes de los Exponentes

Las leyes de los exponentes permiten simplificar expresiones y operar con números muy grandes o muy pequeños de manera eficiente.

Operación	Regla	Ejemplo
Multiplicación	$\text{a}^m \cdot \text{a}^n = \text{a}^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^{7}$
División	$\frac{\text{a}^m}{\text{a}^n} = \text{a}^{m-n}$	$\frac{5^6}{5^2} = 5^{4}$
Potencia de una potencia	$(\text{a}^m)^n = \text{a}^{m \cdot n}$	$(3^2)^3 = 3^{6}$
Exponente cero	$\text{a}^0 = 1 \quad (\text{a} \neq 0)$	$100^0 = 1$
Exponente negativo	$\text{a}^{-n} = \frac{1}{\text{a}^n}$	$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

Práctica Enfocada: Simplificación de expresiones combinadas, como:

\frac{(x^2)^3 \cdot x^{-1}}{x^5}

III. Porcentaje y Aplicaciones Directas

El porcentaje ($$\%$$) es una herramienta de Comparación y Estimación. Es fundamental saber calcular incrementos, descuentos y encontrar la base.

Cálculo Directo: Para encontrar el

$$X\%$$ de un número $$N$$

, se multiplica

$$N$$

por $$\frac{X}{100}$$.
- Ejemplo: El
  
  $$15\%$$ de $$80$$
  
  equivale a
  $80 \cdot 0.15 = 12$
Aumentos y Descuentos: Un descuento del

$$20\%$$ significa que se paga el $$80\%$$

(multiplicar por $$0.80$$). Un aumento del

$$10\%$$ significa que se paga el $$110\%$$

(multiplicar por $$1.10$$).
Porcentaje de Cambio:
$\text{Porcentaje de Cambio} = \frac{(\text{Valor Final} - \text{Valor Inicial})}{\text{Valor Inicial}} \times 100$

Modelado EXANI: Un reactivo típico pide calcular el precio final de un artículo con un descuento y luego un impuesto aplicado. Se debe multiplicar secuencialmente.

IV. Unidades de Medida como Patrón de Comparación

La subárea de Estimación requiere manejar la conversión entre Unidades de Medida (longitud, masa, tiempo, volumen), especialmente en el sistema métrico decimal.

Conversión Lógica: Se debe usar un factor de conversión. Por ejemplo:

$$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$$ó$$1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$$.
Estimación por Escala: Comparar magnitudes sin calcular el valor exacto.
- Ejemplo: ¿Cuántas botellas de
  
  $$500 \text{ ml}$$ se necesitan para llenar un contenedor de $$2 \text{ L}$$? (La conversión a litros es $$500 \text{ ml} = 0.5 \text{ L}$$).

V. Introducción a Inecuaciones Lineales

Una Inecuación Lineal (o desigualdad) establece una relación de no igualdad (ej.

<, >, \leq, \geq

Concepto: Se resuelven de manera similar a las ecuaciones lineales, despejando la incógnita.
Regla Clave (¡ATENCIÓN!): Cuando se multiplica o divide la inecuación por un número NEGATIVO, el sentido de la desigualdad se invierte.
- Ejemplo: Si
  $-2x > 6$ $-2x > 6$ $x < -3$
Aplicación Práctica: Las inecuaciones se usan para modelar restricciones (ej. Presupuestos, tiempos máximos).

VI. Cierre: Estrategia de Estimación para el EXANI-II

La Estimación es una habilidad crítica que permite validar o seleccionar rápidamente la respuesta correcta en problemas con opciones múltiples sin necesidad de realizar el cálculo exacto, ahorrando un tiempo valioso en el examen.

A. ¿En qué consiste el redondeo estratégico?

La técnica consiste en redondear intencionalmente los valores complejos a números enteros, múltiplos de $$10$$ o fracciones sencillas $$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$$ antes de operar.

Valor Original	Redondeo Estratégico	Razón
$97.5$	$100$	Más fácil de multiplicar o dividir.
$0.32$	$0.33 \approx \frac{1}{3}$	Utilizar la fracción para dividir más rápido.
$18\%$	$20\%$	Facilita el cálculo mental.

B. El Proceso de Tres Pasos (Modelo de Estimación)

Redondear: Reemplaza los números complejos del problema por sus valores sencillos más cercanos.
Operar: Realiza la operación con los valores redondeados de manera rápida y mental. Esto te dará un Valor Estimado ($$V_E$$).
Comparar: Compara el Valor Estimado ($$V_E$$) con las opciones de respuesta del reactivo y selecciona aquella que esté más cerca de tu resultado.

C. Aplicación con Porcentajes (Modelado)

Problema (Ejemplo Conceptual): "Una empresa genera una ganancia de

\$2,037

y debe destinar el

24.5\%

a impuestos.

¿Cuánto debe pagar aproximadamente?"

Redondear:
- Ganancia:
  $\$2,037 \rightarrow \$2,000$
- Porcentaje:
  $24.5\% \rightarrow 25\% \text{ (o } \frac{1}{4})$
Operar: Calcula el

$$25\%$$ de $$\$2,000$$.
- $\frac{1}{4} \cdot 2000 = 500$
- El Valor Estimado es
  $\$500$
Comparar: Si las opciones de respuesta fueran: A)

$$\$450$$

, B)

$$\$499$$

, C)

$$\$600$$.
- El estudiante selecciona B)
  $\$499$
  porque es la opción más cercana al valor estimado de
  $\$500$
  , sin haber hecho el cálculo exacto ($$2037 \cdot 0.245 \approx 499.065$$).

Conclusión: Esta estrategia te convierte en un "Lector Experto" capaz de descartar respuestas incorrectas con un esfuerzo matemático mínimo.

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